Title: Matalýza 10

Jméno: V. 10. 1 (Nutná podmínka konvergence řady)
Znění: [latex]Nechť $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ konverguje. Pak $a_k \to 0, k \to \infty$.[/latex]
Důkaz: [latex]posuzuji: $a_n = s_n - s_{n-1}, \forall n \geq 2$
  víme: $s_n \to s \in \mathbb R$, a tedy také $s_{n-1} \to s \implies a_n \to s-s = 0$ (VoAL kon.)[/latex]

Jméno: V. 10. 2 (Věta o aritmetice řad)
Znění: [latex]Nechť $\sum a_k, \sum b_k$ řady, $\alpha, \beta$ čísla. Pak $\sum_{k=1}^{\infty} (\alpha a_k + \beta b_k) = \alpha \sum_{k=1}^{\infty} a_k + \beta \sum_{k=1}^{\infty} b_k$, má-li PS smysl. Speciálně $\sum a_k, \sum b_k$ konvergentní $\implies \sum \alpha a_k \beta b_k$ konverguje. Platí i v $\mathbb C$.[/latex]
Důkaz: [latex]vychází z VoAL pro $\mathbb R$ i pro $\mathbb C$, pro $\mathbb C$ navíc důkaz \uv{po složkách} $\Re, \Im$[/latex]

Jméno: L. 10. 1
Znění: [latex]Nechť $a_k = b_k, \forall k \in \mathbb N$ až na konečně mnoho výjimek. Pak $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ konverguje $\iff \sum_{k=1}^{\infty} b_k$ konverguje.[/latex]
Důkaz: [latex]$\exists n_0 \in \mathbb N$ t. ž. $a_k = b_k, \forall k \geq n_0$. $s_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = a_1+a_2+\dots+a_{n_0}+a_{n_0+1}+\dots+a_n, t_n = \sum_{k=1}^{n} b_k = b_1+b_2+\dots+b_{n_0}+b_{n_0+1}+\dots+b_n$ -- od členů $a_{n_0}, b_{n_0}$ se sčítance rovnají $\implies \exists c \in \mathbb R$ t. ž. $s_n-t_n=c, \forall n \geq n_0$, a tedy $s_n \to s \in \mathbb R \iff t_n \to t \in \mathbb R, t = s-c$[/latex]

Jméno: L. 10. 2
Znění: [latex]Nechť $a_k \geq 0$. Potom řada $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ konverguje $\iff$ má omezené částečné součty.[/latex]
Důkaz: [latex]$s_n \coloneq \sum_{k=1}^{n} a_k$
  $s_{n+1} = s_n + a_{k+1}$, přičemž $a_{k+1} \geq 0$, tedy $s_{n+1} \geq s_n$
  Tedy $\{s_n\}_{n=1}^{\infty}$ je neklesající, potom tedy dle V. 7. 2. konverguje $\iff$ je omezená.[/latex]

Jméno: V. 10. 3 (Srovnávací kritérium - nelimitní verze)
Znění: [latex]Jsou dány řady $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ a $\sum_{k=1}^{\infty} b_k$, kde $a_k, b_k \geq 0$. Nechť existuje $c>0$ a $n_0$ t. ž. $a_k \leq c\cdot b_k, \forall k \geq n_0$. Pak
  \begin{enumerate}[i)]
    \item pokud řada $\sum_{k=1}^\infty b_k$ konverguje $\implies$ řada $\sum_{k=1}^\infty a_k$ konverguje,
    \item pokud řada $\sum_{k=1}^\infty a_k$ diverguje $\implies$ řada $\sum_{k=1}^\infty b_k$ diverguje.
  \end{enumerate}[/latex]
Důkaz: [latex]Z L. 10. 1. můžeme předpokládat, že $\forall k \in \mathbb N: a_k \leq c \cdot b_k$ (můžu opomenout konečně mnoho členů).
  $s_n \coloneq \sum_{k=1}^{\infty} a_k, t_n \coloneq \sum_{k=1}^{\infty} b_k$
  $s_n = \sum a_k \leq \sum c \cdot b_k = c \cdot t_n$
  Užijme L.10.2.:
  \begin{enumerate}[i)]
    \item $\sum b_k$ konverguje $\implies \{t_n\}_{n=1}^{\infty}$ je omezená $\implies \{c \cdot t_n\}_{n=1}^{\infty}$ je omezená $\implies \{s_n\}_{n=1}^{\infty}$ je omezená $\implies \sum a_k$ konverguje
    \item obdobně
  \end{enumerate}[/latex]

Jméno: V. 10. 4 (Podílové kritérium)
Znění: [latex]Je dána řada $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$. Nechť $a_k >0$ a $\frac{a_k+1}{a_k} \to q, k \to \infty$. Pak
  \begin{enumerate}[i)]
    \item je-li $q<1 \implies \sum a_k$ konverguje,
    \item je-li $q>1 \implies \sum a_k$ diverguje.
  \end{enumerate}[/latex]
Důkaz: [latex]\begin{enumerate}[i)]
    \item \underline{$q<1$}: $\exists \varepsilon > 0$ t. ž. $\theta = q+\varepsilon<1$
    $\lim_{k\to\infty} \frac{a_{k+1}}{a_k} = q \implies q \in \mathscr U(q, \varepsilon) \implies \exists n_0 \in \mathbb N: \forall k \geq n_0: \frac{a_{k+1}}{a_k}<\theta$.
    Tedy $a_{k+1} \leq \theta \cdot a_k$.
    Dle L. 10. 1. BÚNO $\forall k \in \mathbb N:a_{k+1} \leq \theta \cdot a_k$
    $\implies a_{k+1} \leq \theta\cdot a_k \leq \theta^2 a_{k-1} \leq \dots \theta^k a_1 \implies a_k \leq \theta^{k-1} \cdot a_1$
    $c \coloneq \frac{a_1}{\theta} \implies a_k \leq c \cdot \theta^k$ -- užijeme V. 10. 3. i)
    $\{\theta_k\}$ geometrická řada s kvocientem s velikostí menší než 1 $\implies \sum \theta_k$ konverguje $\implies \sum a_k$ konverguje
    \item \underline{$q>1$}: $\exists n_0 \in \mathbb N: \forall k \geq n_0: \frac{a_{k+1}}{a_k} > 1$.
    Pak $a_{k+1} >a_k >0, \forall k \geq n_0 \implies \sum a_k \geq \sum a_{n_0} = \infty \implies \sum a_k$ diverguje.
  \end{enumerate}[/latex]

Jméno: *V. 10. 5 (Odmocninové kritérium)
Znění: [latex]Nechť $\sum a_k$ řada, $a_k >0$ a $\lim_{k\to \infty} \sqrt[k]{a_k}=q$. Pak
\begin{enumerate}[i)]
  \item je-li $q<1$ řada konverguje,
  \item je-li $q>1$ řada diverguje.
\end{enumerate}[/latex]
Důkaz: ne

Jméno: V. 10. 6 (Integrálové kritérium)
Znění: [latex]Nechť $\sum a_k$ řada, $a_k > 0$. Nechť existuje spojitá nezáporná nerostoucí funkce $f: [1, \infty] \to \mathbb R$ t. ž. $a_k = f(k)$. Pak $\sum a_k$ konverguje $\iff (\mathscr N) \int_1^\infty f(x)dx <\infty$.[/latex]
Důkaz: [latex]$s_n \coloneq \sum^n a_k$. Víme, že $\sum a_k$ konverguje $\iff \{s_n\}$ je omezená (shora). Dle V. 9. 6. má $f$ primitivní funkci, nazvěme $F$, pak $(\mathscr N)\int f(x)dx = [F(x)]_1^\infty = \lim_{x \to \infty} F(x) - \lim_{x \to 1^+} F(x)$, tedy $(\mathscr N)\int f(x) dx < \infty \iff \lim_{x \to \infty} F(x) \neq \infty$.
  Je-li $k \in \mathbb N$ pevné, $x \in [k, k+1]$, pak $f(k) \geq f(x) \geq f(k+1)$.
  $a_k \geq f(x) \geq a_{k+1}$
  $\int_k^{k+1} a_k dx \geq \int_k^{k+1} f(x) dx \geq \int_k^{k+1} a_{k+1}$
  $a_k \geq \int_k^{k+1} f(x) dx \geq a_{k+1}$
  $\sum_{k=1}^n a_k \geq \sum_{k=1}^n \int_k^{k+1} f(x) dx \geq \sum_{k=1}^n a_{k+1}$
  $s_n \geq \int_1^{n+1} f(x) dx \geq s_{n+1} -a_1$
  pro $ n \to \infty: \lim_{n \to \infty} s_n \geq \int_1^\infty f(x) dx \geq \lim_{n \to \infty} s_{n+1}-a_1$ -- každá strana ekvivalence vyplývá z jedné nerovnice[/latex]

Jméno: V. 10. 7 (Srovnávací kritérium - limitní verze)
Znění: [latex]Nechť $a_k, b_k >0$, nechť $a_k \sim b_k, k \to \infty$. Pak $\sum a_k$ konverguje $\iff \sum b_k$ konverguje.[/latex]
Důkaz: [latex]Víme, že $\frac{a_k}{b_k} \to c \neq 0$, nutně $c >0$.
  Volme $\varepsilon >0$ t. ž. $0 \in \mathscr U(c, \varepsilon)$.
  $\implies \exists n_0 \in \mathbb N: \frac{a_k}{b_k} \in \mathscr U(c, \varepsilon), \forall k \geq n_0$
  $\implies c- \varepsilon < \frac{a_k}{b_k} < c + \varepsilon$
  $c_1 \coloneq c - \varepsilon, c_2 \coloneq c+\varepsilon$
  $0 < c_1 \cdot b_k < a_k < c_2 \cdot b_k, \forall k \geq n_0$ (dle L. 10. 1. BÚNO $\forall k \in \mathbb N$) -- mám 2x V. 10. 3.[/latex]

Jméno: V. 10. 8 (Raabeho kritérium)
Znění: [latex]Nechť $a_k >0$, nechť $k(\frac{a_k}{a_{k+1}}-1) \to p, k \to \infty$. Pak
  \begin{enumerate}[i)]
    \item $p>1\implies \sum a_k$ konverguje,
    \item $p<1\implies \sum a_k$ diverguje.
  \end{enumerate}[/latex]
Důkaz: [latex]\begin{enumerate}[i)]
    \item Nechť $f(\frac{a_k}{a_{k+1}}-1) \to p >1 \implies \exists \varepsilon>0$ t. ž. $\eta = p - \varepsilon \neq 1$
    $\implies \exists n_0 \in \mathbb N: k(\frac{a_k}{a_{k+1}}-1) > \eta, \forall k \geq n_0$ (L. 10. 1. $\forall k \in \mathbb N$)
    $k(a_k - a_{k+1}) > \eta \cdot a_{k+1}$
    $ka_k - (k+1)a_{k+1} > (\eta -1)a_{k+1}$
    LS: $(1a_1-2a_2)+(2a_2-3a_3)+\dots+((n-1)a_{n-1}-na_n)=a_1 -na_n \leq a_1$
    PS: $(\eta -1) \sum_{l=2}^{n} a_l = (\eta -1)(s_n - a_1)$
    $a_1 - na_n > (\eta -1)(s_n - a_1)$
    $a_1 > (\eta -1)s_n$
    $0<\frac{\eta}{\eta -1}a_1>s_n, \forall n \in \mathbb N \implies \{s_n\}$ shora omezená
    tedy dle L. 10. 2. $\sum a_k$ konv.
    \item nechť $k(\frac{a_k}{a_{k+1}}-1) \to p < 1, \varepsilon \coloneq 1 - p$
    $\implies k(\frac{a_k}{a_{k+1}}-1)<p + \varepsilon, \forall k \in \mathbb N$ (L. 10. 1.)
    $\begin{aligned}
      &ka_k - ka_{k+1}<a_{k+1} &&  /-a_k \\
      &ka_k-(k+1)a_{k+1}<0 && /\sum_{k=1}^{n-1}
    \end{aligned}$
    $a_1 - na_n < 0$
    $a_n > \frac{a_1}{n}$ -- harmonická řada $\implies \sum \frac{a_1}{n}$ div., dle V. 10. 3. $\implies \sum a_n$ diverguje
  \end{enumerate}[/latex]

Jméno: V. 10. 9
Znění: [latex]Nechť $a_k \in \mathbb C$. Potom $\sum a_k$ konverguje $\iff$ splňuje (B. C. r).[/latex]
Důkaz: [latex]$\sum a_k$ konverguje $\stackrel{def.}{\iff}$ posloupnost $\{s_n\}$ konverguje $\stackrel{K. 7. - \mathbb R, K. 13. - \mathbb C}{\iff} \{s_n\}$ splňuje (B. C.) $\stackrel{\sum \text{konv.}\iff \text{splňuje (B. C. r.)}}{\iff} \sum a_k$ splňuje (B. C. r).[/latex]

Jméno: V. 10. 10 (O absolutní konvergenci)
Znění: [latex]Nechť $a_k \in \mathbb C$, nechť $\sum |a_k|$ konverguje. Pak řada $\sum a_k$ konverguje.[/latex]
Důkaz: [latex]Značení: kladná, resp. nezáporná část: $a_k^+\coloneq \max\{0, a_k\}$
  1. \textsc{krok}: $a_k \in \mathbb R, \forall k \in \mathbb N$
  $\sum a_k$ konverguje $\stackrel{V. 10. 3.}{\iff} \sum a_k^+, \sum a_k^-$ konvergují, neboť $0 \leq a_k^+, a_k^- \leq |a_k|$
  $\implies \sum a_k = \sum a_k^+ - \sum a_k^-$ knverguje dle V. 10. 2. (VoAŘ)
  2. \textsc{krok}: $a_k \in \mathbb C$, tj. $a_k = \Re a_k + i\cdot\Im a_k$
  $|\Re a_k|, |\Im a_k| \leq |a_k|\stackrel{V. 10. 3.}{\implies}\sum \Re a_k, \sum \Im a_k$ konvergují, neboť $\sum |\Re a_k|, \sum |\Im a_k|$ konvergují absolutně (dle ekvivalentní definice) $\stackrel{1. \textsc{krok}}{\implies} \sum \Re a_k, \sum \Im a_k$ konvergují $\stackrel{ekv. def.}{\iff} \sum a_k$ konverguje[/latex]

Jméno: *V. 10. 11 (Leibnizovo kritérium)
Znění: [latex]Nechť $b_k \to 0, k \to \infty$, nechť $\{b_k\}$ je monotónní (od jistého $k \geq n_0$). Pak $\sum (-1)^k \cdot b_k$ konverguje. (Nutně $b_k \in \mathbb R$.)[/latex]
Důkaz: ne

Jméno: L. 10. 3 (Abelova parciální sumace)
Znění: [latex]Nechť $a_k, b_k \in \mathbb C, k \in \mathbb N$. Položme $\tilde{s}_m \coloneq \sum_{k=n+1}^{m} a_k, \forall m > n, n \in \mathbb N$ pevné. Pak $\sum_{k = n+1}^{m} a_k b_k = \tilde{s}_m b_{m+1} + \sum_{k = n+1}^{m} \tilde{s}_k (b_k - b_{k+1}), \forall m > n$.[/latex]
Důkaz: [latex]$\tilde{s}_m = s_m - s_n$, kde $s_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$
    $\implies \tilde{s}_n = 0, \tilde{s}_k = \tilde{s}_{k-1}+a_k, \forall k \geq n$
    LS$ = \sum_{k=n+1}^{m} (\tilde{s}_k-\tilde{s}_{k-1})b_k = \sum_{k=n+1}^{m} \tilde{s}_kb_k - \sum_{k=n+1}^{m} \tilde{s}_{k-1} b_k = \sum_{k=n+1}^{m} \tilde{s}_k  b_k - \sum_{k=n}^{m-1} \tilde{s}_k b_{k+1} = \sum_{k=n+1}^{m} \tilde{s}_k b_k - \sum_{k=n+1}^{m} \tilde{s}_k b_{k+1} + \tilde{s}_m b_{m+1} + \tilde{s}_n b_{n+1} = \sum_{k=n+1}^{m} \tilde{s}_k(b_k-b_{k+1})+ \tilde{s}_m b_{m+1} =$ PS[/latex]

Jméno: V. 10. 12 (Dirichletovo kritérium)
Znění: [latex]Nechť $\sum a_k \in \mathbb C$ má omezené částečné součty, nechť $b_k \in \mathbb R, b_k \to 0, k \to \infty$, navíc $\{b_k\}$ je monotónní (pro $k \geq n_0$). Pak $\sum a_k b_k$ konverguje.[/latex]
Důkaz: [latex]díky V. 10. 9. stačí ověřit (B. C. r), tj. $(\forall \varepsilon >0)(\exists n_0 \in \mathbb N)(\forall n \geq n_0)(\forall p >1)[|\sum_{k=n+1}^{n+p}a_k b_k|<\varepsilon]$. Nechť $\varepsilon>0$ dáno $\implies \exists K > 0$ t. ž. $|s_n|<K, \forall n \in \mathbb N$, kde $s_n$ jsou částečné součty posloupnosti $\{a_k\}$.
    $\exists n_0$ t. ž. $|b_k|<\frac{\varepsilon}{2K}, \forall k \geq n_0$
    BÚNO $b_1\geq b_2 \geq \dots \geq 0, \forall k \in \mathbb N$
    Nechť $n\geq n_0, p \geq 1$ lib., $\tilde{s}_m \coloneq s_m -s_n, m = n+p$, nyní dle L. 10. 3.
    (ještě pozorování: $|\tilde{s}_k|< 2K, \forall k \geq n_0$, neboť $|\tilde{s}_k| = |s_k-s_n| \stackrel{\triangle \text{nerovnost}}{\leq}|s_k|+|s_n|\leq 2K$)
    $\implies\sum_{k=n+1}^{m}a_kb_k = \tilde{s}_mb_{m+1}+\sum_{k=n+1}^{m} \tilde{s}_k(b_k-b_{k+1})$
    $|\sum a_kb_k| \leq \underbrace{|\tilde{s}_mb_{m+1}|}_{\underbrace{|\tilde{s}_m|}_{\leq 2K}\cdot b_{m+1}}+\sum|\tilde{s}_k|\cdot|b_k-b_{k+1}|\leq 2Kb_{m+1}+\sum 2K(b_k-b_{k+1})=2K\cdot b_{n+1}<2K \frac{\varepsilon}{2K} = \varepsilon$[/latex]

Jméno: L. 10. 4.
Znění: [latex]Nechť $x \neq 2l \pi, l \in \mathbb Z$. Pak: $$\sum_{k=0}^{n} \sin(kx) = \frac{\sin\left(\frac{n+1}{2}x\right)\cdot\sin\left(\frac{n}{2}x\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)},\sum_{k=0}^{n} \cos(kx) = \frac{\sin\left(\frac{n+1}{2}x\right)\cdot\cos\left(\frac{n}{2}x\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}.$$[/latex]
Důkaz: [latex]Indukcí dle $n$ (+ součtové vzorce) nebo pomocí komplexní exponenciály a jejich součtů.[/latex]

Jméno: V. 10. 13 (Abelovo kritérium)
Znění: [latex]Nechť $\sum a_k \in \mathbb C$ konverguje. Nechť $\{b_k\}$ je omezená, monotónní ($b_k \in \mathbb R$). Pak $\sum a_kb_k$ konverguje.[/latex]
Důkaz: [latex]V. 7. 2. $\implies \exists b \in \mathbb R$ t. ž. $b_k \to b, k \to \infty$
    pišme: $a_kb_k=a_k(b_k-b)+a_kb$
    VoAŘ: $\sum a_kb_k$ konverguje $\impliedby \sum a_k, \sum b_k$ konverguje
    $\sum a_kb = b \cdot \sum a_k$ -- konverguje
    $\sum \underbrace{a_k}_{\text{om. č. souč.} \impliedby \{s_n\} \text{ konverguje}\impliedby \sum a_k \text{ konverguje}}\underbrace{(b_k-b)}_{\to 0 \text{ monotónně}}$ konverguje dle V. 10. 12.[/latex]

Jméno: V. 10. 14 (O přerovnání řady)
Znění: [latex]Nechť $\sum_{k=1}^{\infty} b_k$ je libovolné přerovnání řady $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$. Nechť buď (i) $a_k \geq 0$, nebo (ii) $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ konverguje absolutně (kde $a_k \in \mathbb C$). Potom $\sum_{k=1}^{\infty} a_k = \sum_{k=1}^{\infty} b_k$.[/latex]
Důkaz: [latex]\begin{enumerate}[1. \textsc{krok}]
    \item nechť $a_k \geq 0, \forall k \in \mathbb N$. Označme $s_n \coloneq \sum_{k=1}^n a_k, t_n \coloneq \sum_{k=1}^n b_k$
    \begin{itemize}
      \item[$\stackrel{\text{L. 10. 2}}{\implies}$] $s\coloneq \sum_{k=1}^\infty a_k = \lim_{n\to \infty} s_n = \sup \{s_n,n\in \mathbb N\}$
      $t\coloneq \sum_{k=1}^\infty b_k = \lim_{n\to \infty} t_n = \sup \{t_n,n\in \mathbb N\}$
    \end{itemize}
    zatím $s.t \in [0, \infty]$
    idea: pro $n \in \mathbb N$ definuj $N(n) = \max\{\varphi(k); k = 1, \dots, n\}$
    $s_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n \stackrel{\varphi}{=} b_1 + b_2 + \dots + b_{N(n)}$ -- ten, který se dostane nejdál
    zřejmě $s_n\leq t_{N(n)}$ (využívám nezápornost)
    $\implies s = \sup \{s_n; n \in \mathbb N\} \leq \sup \{t_{N(n)}; n\in \mathbb N\} \leq \sup \{t_m; m \in \mathbb N\} = t$
    tedy $s\leq t$, opačná nerovnost analogicky $\implies s=t$
    \item $a_k \in \mathbb R, \sum |a_k| <\infty$ pišme (viz V. 10. 10)
    $a_k = a_k^+-a_k^-$, kde $a_k^+\coloneq \max\{0, a_k\}, a_k^-\coloneq \max\{0, -a_k\}$
    $\implies \sum a_k^+, \sum a_k^-$ konverguje
    $\sum_{k=1}^\infty a_k \stackrel{\text{VoAŘ}}{=} \sum_{k=1}^\infty a_k^+ - \sum_{k=1}^\infty a_k^-\stackrel{1. \textsc{krok}}{=}\sum_{k=1}^\infty b_k^+-\sum_{k=1}^\infty b_k^-\stackrel{\text{VoAŘ}}{=}\sum_{k=1}^\infty b_k$
    \item $a_k \in \mathbb C$ pišme $a_k = \Re \, a_k +i\cdot \Im \, a_k$
    $0\leq|\Re \, a_k|, |\Im \, a_k| \leq |a_k|$
    $\implies \sum |\Re \, a_k|, \sum |\Im \, a_k|$ konvergují
    $\stackrel{\text{VoAŘ, 2. }\textsc{krok}}{\implies}\sum_{k=1}^\infty a_k \stackrel{\text{VoAŘ}}{=} \sum_{k=1}^\infty \Re \, a_k + i\cdot\sum_{k=1}^\infty \Im \, a_k\stackrel{2. \textsc{krok}}{=}\sum_{k=1}^\infty \Re \, b_k+i\cdot\sum_{k=1}^\infty \Im \, b_k\stackrel{\text{VoAŘ}}{=}\sum_{k=1}^\infty b_k$
  \end{enumerate}[/latex]

Jméno: V. 10. 15
Znění: [latex]Nechť $a_k \in \mathbb R$, nechť $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ konverguje neabsolutně, nechť $s \in \mathbb R^*$ je libovolné. Potom existuje přerovnání, jehož součet je $s$.[/latex]
Důkaz: [latex]\begin{enumerate}[1.]
    \item tvrdíme, že $\sum a_k^+=\sum a_k^-=\infty$
    \begin{itemize}
      \item[??]\begin{enumerate}[i.]
        \item $\sum a_k^+, \sum a_k^-<\infty \stackrel{\text{VoAŘ}}{\implies} |a_k|<\infty$
        \item $\sum a_k^+ < \infty, \sum a_k^- = \infty\implies\sum a_k = -\infty$
        \item $\sum a_k^+ = \infty, \sum a_k^- < \infty\implies\sum a_k = \infty$ -- \textsc{spor} \Lightning \end{enumerate}
    \end{itemize}
    \item algoritmus přerovnání
    \begin{itemize}
      \item beru kladné členy, dokud nejsem nad $s$
      \item beru záporné, dokud nejsem pod $s$
      OBRAZEKOBRAZEk
    \end{itemize}
    \item $s_n \to s, n \to \infty \stackrel{V. 10. 1}{\implies} a_k \to 0$
    \item lze dosáhnout $s_n \to \infty$, nebo $\lim_{n\to \infty} s_n$ neexistuje
  \end{enumerate}[/latex]

Jméno: V. 10. 16 (Cauchyův součin řad)
Znění: [latex]Nechť řady $\sum_{i=0}^{\infty} a_i$, $\sum_{j=0}^{\infty} b_j$ konvergují absolutně. Pro $k = 0, 1, \ldots$ označme $c_k = \sum_{i=0}^{k} a_i b_{k-i}$. Potom
\[\sum_{k=0}^{\infty} c_k = \left(\sum_{k=0}^{\infty} a_k\right) \cdot \left(\sum_{k=0}^{\infty} b_k\right)\]
a řada vlevo konverguje absolutně.[/latex]
Důkaz: [latex]\begin{enumerate}[1.]
     \item formálně: $(a_0 + a_1 + a_2 + \dots)\cdot(b_0+b_1+b_2+\dots) = \underbrace{a_0b_0}_{c_0}+\underbrace{a_0b_1+a_1b_0}_{c_1}+\underbrace{a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0}_{c_2}+\dots$
     schéma: OBRAZEKOBRAZEK
     \item pomocná řada: $\sum_{k=1}^{\infty} d_k$, kde $\{d_k\}: a_0b_0, a_1b_0, a_1b_1, a_0b_1, a_2b_0, \dots$ OBRAZEKOBRAZEK
     tvrdíme, že $\sum d_k$ konverguje absolutně, neboť $\sum_{k=1}^{n^2}|d_k| = \sum_{i=0}^{n-1} \sum_{j=0}^{n-1} |a_i||b_j| = \left(\sum_{i=0}^{n-1} |a_i|\right)\cdot\left(\sum_{j=0}^{n-1}|b_j|\right) \leq \underbrace{\left(\sum^{\infty} |a_i|\right)}_{\in \mathbb R}\cdot\underbrace{\left(\sum^{\infty}|b_j|\right)}_{\in \mathbb R}$
     $\stackrel{L. 10. 2}{\implies} \sum |d_k|$ konverguje
     \item tvrdíme, že: $\sum_{k=1}^{\infty} d_k = \left(\sum^{\infty} a_i\right)\left(\sum^{\infty}b_j\right)$ stejný OBRAZEKOBRAZEK, neboť označíme-li $s_n \coloneq \sum_{i=0}^{n}a_i, t_n \coloneq \sum_{j=0}^{n}b_j, p_n \coloneq \sum_{k=0}^{n}d_k$, pak zřejmě (viz 2.) $o_{n^2} = s_{n-2}\cdot t_{n-1}$ což je to, co chceme pro $n\to \infty$
     \item další pomocná řada: $\sum_{k=1}^{\infty}$, kde $\{e_k\}: a_0b_0, a_1b_0, a_0b_1, a_2b_0, a_1b_1, a_0b_2$ OBRAZEKOBRAZEK
     $\stackrel{V. 10. 14}{\implies} \sum^\infty e_k= \sum^\infty d_k \eqcolon o$
     poslední pozorování: $\sum_{k=0}^{n-1} c_k = \sum_{k=2}^N e_k$, kde $N = 1+2+3+\dots+n=\frac{n(n-1)}{2}$
   \end{enumerate}[/latex]